Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Zadanie 1

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem $f(x)=2x^3-3x^2.$

Wskazówka: $f^\prime(x)=6x^2-6x.$

Odpowiedź: Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(1,\infty)$, malejąca w przedziale $(0,1)$, w punkcie o odciętej $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne, w punkcie o odciętej $x=1$ funkcja ma minimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(0)=0$, wartość minimalna funkcji wynosi $f(1)=-1.$

Zadanie 2

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}.$

Wskazówka:  $f^\prime(x)=\frac{- 6x}{(x^2-4)^2}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{-2, 2\}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(-2,0)$, malejąca w każdym z przedziałów: $(0,2)$, $(2,\infty)$ w punkcie o odciętej $x=0$  funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(0)=\frac14$.

Zadanie 3

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=x^2\cdot e^x$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=(2x+x^2)\cdot e^x.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(0,\infty)$, malejąca w przedziale $(-2,0)$, w punkcie o odciętej $x=0$ funkcja ma minimum lokalne, w punkcie o odciętej $x=-2$ funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(-2)=4e^{-2}$, wartość minimalna funkcji wynosi $f(0)=0$.

Zadanie 4

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{e^x\cdot (x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Zadanie 5

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=\frac{\ln x+1}{2x}$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=-\frac{\ln x}{2x^2}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, \infty)$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $(0,1)$, malejąca w przedziale $(1,\infty)$, w punkcie o odciętej $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(1)=\frac12$.

Zadanie 6

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=x-5\mathrm{arctg}x$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{x^2-4}{x^2+1}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(2,\infty)$, malejąca w przedziale $(-2,2)$, w punkcie o odciętej $x=-2$ funkcja ma maksimum lokalne, w punkcie o odciętej $x=2$ funkcja ma minimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(-2)=-2-5\mathrm{arctg}(-2)$, wartość minimalna funkcji wynosi $f(2)=2-5\mathrm{arctg}(2)$.

Zadanie 7

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=\frac{x}{x^2+4}$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{4-x^2}{(4+x^2)^2}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(2,\infty)$, rosnąca w przedziale $(-2,2)$, w punkcie o odciętej $x=-2$ funkcja ma minimum lokalne, w punkcie o odciętej $x=2$ funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(2)=\frac14$, wartość minimalna funkcji wynosi $f(-2)=-\frac{1}4$.

Zadanie 8

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2}$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{2e^{2x}\cdot (x^2-x)}{x^4}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(1,\infty)$, malejąca w przedziale $(0,1)$, w punkcie o odciętej $x=1$ funkcja ma minimum lokalne. Wartość minimalna funkcji wynosi $f(1)=e^2$.

Zadanie 9

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=e^{-x}\cdot (3x^2-x^3)=x^2\cdot e^{-x}\cdot(3-x).$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(0,3)$, malejąca w przedziale $(3,\infty)$, w punkcie o odciętej $x=3$ funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(3)=27e^{-3}$.

Zadanie 10

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=3x-x\cdot \ln(2x)$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=2-\ln 2x.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, \infty)$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $\left(0,\frac12e^2\right)$, malejąca w przedziale $\left(\frac12e^2,\infty\right)$, w punkcie o odciętej $x=\frac12e^2$ funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(\frac12e^2)=\frac32e^2-e^2$.

Zadanie 11

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=\ln^3 x-3\ln^2 x$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{3\ln^2 x-6\ln x}{x}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, \infty)$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(0,1)$, $\left(e^2,\infty\right)$, malejąca w przedziale $(1,e^2)$, w punkcie o odciętej $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne, w punkcie o odciętej $x=e^2$ funkcja ma minimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(1)=0$, wartość minimalna funkcji wynosi $f(e^2)=-4$.

Zadanie 12

Wyznaczyć asymptoty, ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności oraz naszkicować wykres funkcji określonej wzorem:

$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$,

Wskazówka: Asymptotę pionową wykres funkcji $f$  może posiadać w punkcie $x=1$, ukośną w $-\infty, \; \infty$, $f^\prime(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Funkcja ma asymptotę pionową obustronną $x=1$. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $(0,1)$, $(1,2)$, rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(2,\infty)$, w punkcie o odciętej $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne, w punkcie o odciętej $x=2$ funkcja ma minimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(0)=0$, wartość minimalna funkcji wynosi $f(2)=4$.

Zadanie 13

Wyznaczyć asymptoty, ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności oraz naszkicować wykres funkcji określonej wzorem:

$f(x)=x\cdot e^{-x}$,

Wskazówka: Asymptotę  ukośną wykres funkcji $f$ może posiadać w $-\infty, \; \infty$, asymptoty pionowej wykres funkcji $f$ nie posiada.$f^\prime(x)=e^{-x}\cdot (1-x).$ 

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja ma asymptotę poziomą $y=0$ w $\infty$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 1)$, malejąca w przedziale $(1,\infty)$, w punkcie o odciętej $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(1)=e^{-1}$.

Zadanie 14

Wyznaczyć asymptoty, ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności oraz naszkicować wykres funkcji określonej wzorem:

$f(x)=\frac{x^2}{\ln x}$,

Wskazówka: Asymptotę  ukośną wykres funkcji $f$ może posiadać w $\infty$, asymptotę pionową wykres funkcji $f$ może posiadać w punkcie $x=1$, $f^\prime(x)=\frac{x\cdot (2\ln x-1)}{\ln^2 x}.$ 

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0,1)\cup(1,\infty)$. Funkcja ma asymptotę pionową obustronną $x=1$. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $(0,1)$, $\left(1,e^{\frac12}\right)$, rosnąca przedziale: $\left(e^{\frac12},\infty\right)$, w punkcie o odciętej $x=e^{\frac12}$ funkcja ma minimum lokalne. Wartość minimalna funkcji wynosi $f(e^{\frac12})=2e$.