Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

1. $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $(0,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-\infty ,0)$.
2. $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wklęsła w całej dziedzinie.
3. $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\infty ,-\frac{1}{4})$, $(0,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-\frac{1}{4} ,0)$.
4. $D=(0,+\infty )$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $\ (e^{- \frac{3}{2}},+\infty )$, wklęsła na przedziale $(0,e^{-\frac{3}{2}})$.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

1. $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\sqrt{3},0)$, $(\sqrt{3},+\infty )$, wklęsła na przedziałach $(-\infty ,-\sqrt{3})$ , $(0,\sqrt{3})$.
2. $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\infty ,-3)$ , $(1,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-3,1)$.
3. $D=\mathbb{(}-\infty ,-1]\cup \lbrack 1,+\infty )$. Funkcja $f$ jest wklęsła na przedziałach $(-\infty ,-1)$, $(1,+\infty )$.
4. $D=\mathbb{(}-\infty ,-1)\cup (-1,+\infty )$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\infty ,-1)$, $(-1,-\frac{1}{2})$, wklęsła na przedziale $(-\frac{1}{2},+\infty )$.

1. $D=\mathbb{R}.$ Punkt przegięcia: $P=(1,-2)$. Funkcja jest wypukła na przedziale $(1,+\infty)$, wklęsła na przedziale $(-\infty,1)$.
2. $D=\mathbb{R}$. Punkty przegięcia: $P_1=(2-\sqrt2,(2-\sqrt2)^2⋅e^{-2+\sqrt2})$, $P_2=(2+\sqrt2,(2+\sqrt2)^2⋅e^{-2-\sqrt2})$. Funkcja jest wypukła na przedziałach $(-\infty,2-\sqrt2)$, $(2+\sqrt2,+\infty)$, wklęsła na przedziale $(2-\sqrt2,2+\sqrt2)$.
3. $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ 0\right\} .$ Brak punktów przegięcia. Funkcja jest wypukła na przedziale $(0,+\infty)$, wklęsła na przedziale $(-\infty,0)$.
4. $D=(0,+\infty )$. Punkt przegięcia: $P=(e,1)$. Funkcja jest wypukła na przedziale $(0,e)$, wklęsła na przedziale $(e,+\infty)$.

1. $D=\mathbb{R}$. Punkty przegięcia: $P_1=(-1,\ln2)$, $P_2=(1,\ln2)$. Funkcja jest wypukła na przedziale $(-1,1)$, wklęsła na przedziałach $(-\infty,-1)$, $(1,+\infty)$.
2. $D=\mathbb{R}.$ Punkt przegięcia: $P=(0,0).$ Funkcja jest wypukła na przedziale $\left( -\infty,0\right),$ wklęsła na przedziale $\left( 0,+\infty \right)$.
3. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3\right\}$. Brak punktów przegięcia. Funkcja jest wypukła na przedziale $\left( 3,+\infty \right)$, wklęsła na przedziale $\left( -\infty ,3\right)$.
4. $D=\left( -\infty ,1\right)$. Brak punktów przegięcia. Funkcja jest wklęsła na na przedziale $\left( -\infty ,1\right)$.