2.1 Twierdzenie Rolle'a i twierdzenie Lagrange'a
Teoria
Rolle'a
Lagrange'a
Iloraz równy jest tangensowi kąta
nachylenia prostej (siecznej) przechodzącej przez punkty
i
.
Z twierdzenie Lagrange'a wnioskujemy, że na wykresie funkcji znajduje się przynajmniej jeden taki punkt (o odciętej
), w którym styczna do wykresu funkcji
jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty
i
.
Wnioski z twierdzenia Lagrange'a
2
Implikacje odwrotne do podanych we wniosku 3 i wniosku 4 nie zachodzą. W szczególności nie jest prawdą, że jeżeli jest funkcją rosnącą na przedziale
, to
dla każdego
. Przykładem jest funkcja
, która jest ściśle rosnąca, ale jej pochodna
zeruje się w punkcie
.
Wnioski 3 i 4 nie zachodzą w przypadku, gdy przedział zastąpimy sumą przedziałów.