2.1 Twierdzenie Rolle'a i twierdzenie Lagrange'a

Teoria

Rolle'a

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym [a,b], różniczkowalna na przedziale otwartym (a,b) oraz f(a)=f(b), to istnieje taki punkt c\in(a,b), że f'(c)=0.

Lagrange'a

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym [a,b] oraz różniczkowalna na przedziale otwartym (a,b), to istnieje taki punkt c\in(a,b), że

f^\prime(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

 

Iloraz \frac{f(b)-f(a)}{b-a} równy jest tangensowi kąta α nachylenia prostej (siecznej) przechodzącej przez punkty (a,f(a)) i (b,f(b)).

Z twierdzenie Lagrange'a wnioskujemy, że na wykresie funkcji f znajduje się przynajmniej jeden taki punkt (o odciętej c\in(a,b)), w którym styczna do wykresu funkcji f jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty (a,f(a)) i (b,f(b)).

 

Wnioski z twierdzenia Lagrange'a

1

Jeżeli f^\prime(x)=0 dla każdego x\in(a,b), to f jest funkcją stałą na przedziale (a,b).

2

Jeżeli f^\prime(x)=g^\prime(x) dla każdego x\in (a,b), to funkcje f i g różnią się co najwyżej o stałą, tzn. istnieje stała C\in \mathbb{R} taka, że dla wszystkich x\in(a,b) zachodzi równość f(x)=g(x)+C.

3

Jeżeli f^\prime(x)>0 dla każdego x\in(a,b), to f jest funkcją rosnącą na przedziale (a,b).

4

Jeżeli f^\prime(x) dla każdego x\in(a,b), to f jest funkcją malejącą na przedziale (a,b).

 

Implikacje odwrotne do podanych we wniosku 3 i wniosku 4 nie zachodzą. W szczególności nie jest prawdą, że jeżeli f jest funkcją rosnącą na przedziale (a,b), to f^\prime(x)>0 dla każdego x\in(a,b). Przykładem jest funkcja f(x)=x^3, która jest ściśle rosnąca, ale jej pochodna f^\prime(x)=3x^2 zeruje się w punkcie x_0=0.

Wnioski 3 i 4 nie zachodzą w przypadku, gdy przedział (a,b) zastąpimy sumą przedziałów.