1.3 Interpretacja geometryczna pochodnej w punkcie

Teoria

Załóżmy, że funkcja f jest określona i ciągła na pewnym otoczeniu punktu x_{0}. Styczną do wykresu funkcji f w punkcie x_{0} (w punkcie wykresu (x_{0}, f(x_{0}))) nazywamy prostą będącą granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji f przechodzących przez punkty (x_{0},f(x_{0})) i (x, f(x)), gdy x\rightarrow x_{0}.


Styczna

Iloraz różnicowy \frac{\Delta f}{\Delta x} równy jest tangensowi kąta \alpha _{s} nachylenia prostej (siecznej) przechodzącej przez punkty A=(x_{0},f(x_{0})) i B=(x_{0}+\Delta x,f(x_{0}+\Delta x)):

\frac{\Delta f}{\Delta x}=\text{tg}\alpha _{s}.

Jeżeli granica \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{ \Delta x} istnieje i jest skończona, to jej wartość równa jest tangensowi kąta \alpha nachylenia stycznej do wykresu funkcji f poprowadzonej w punkcie A, zatem

f^{\prime }(x_{0})=\text{tg}\alpha.

tangens

Pochodna f^{\prime }(x_{0}) jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji f poprowadzonej w punkcie (x_{0},f(x_{0})).

‒ o równaniu stycznej do wykresu funkcji

Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu x_{0} i posiada pochodną (właściwą) w punkcie x_{0}. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x_{0} ma postać

y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).