Pochodna funkcji jednej zmiennej

Jeżeli funkcje $f,g$ są określone na pewnym otoczeniu punktu $x_0$ i są różniczkowalne w punkcie $x_0$, to:

1. $\left( C\cdot f\right) '(x_0)=C\cdot f'(x_0)$, $C\in \mathbb {R}$,
2. $\left(f\pm g\right)'(x_0)=f'(x_0)\pm g'(x_0)$,
3. $\left(f\cdot g\right)'(x_0)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)$,
4. $\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot g'(x_0)}{g^2(x_0)}$, jeśli $g(x_0)\neq 0$.

Zachodzą wzory:

1. $(C)'=0$, $C\in \mathbb R$,
2. $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha -1}$, $\alpha \in \mathbb R$,
3. $(a^x)'=a^x\ln a$, $x\in \mathbb{R}$, $a>0$,
4. $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$, $x>0$, $a>0$, $a\neq 1$,
5. $(\sin x)'=\cos x$, $x\in \mathbb R$,
6. $(\cos x)'=-\sin x$, $x\in \mathbb R$,
7. $(\operatorname{tg} x)'=\frac{1}{\cos ^2x}$, $\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in \mathbb Z$,
8. $(\operatorname{ctg} x)'=-\frac{1}{\sin ^2x}$, $x\neq k\pi$, $k\in \mathbb Z$,
9. $(\operatorname{arctg} x)'=\frac{1}{1+x^2}$, $x\in \mathbb R$,
10. $(\operatorname{arcctg} x)'=-\frac{1}{1+x^2}$, $x\in \mathbb R$,
11. $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $x\in (-1,1)$,
12. $(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $x\in (-1,1)$.

W szczególności mamy:

• $(e^x)'=e^x$, $x\in \mathbb R$,
• $(\ln x)'=\frac{1}{x}$, $x>0$.

Jeżeli funkcja złożona $F(x)=f(g(x))$ jest określona na pewnym otoczeniu punktu $x_0$, funkcja $g$ ma pochodną w punkcie $x_0$ oraz funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $y_0=g(x_0)$, to funkcja $F$ ma pochodną w punkcie $x_0$ oraz

$F'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)$.

Niech funkcja $f$ będzie określona na pewnym otoczeniu punktu $x_0$, $g$ będzie funkcją odwrotną funkcji $f$. Jeżeli istnieje i jest różna od zera pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$, to funkcja $g$ jest różniczkowalna w punkcie $y_0=f(x_0)$ i zachodzi wzór

$g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$.

Przy obliczaniu pochodnych funkcji postaci $f^g$ lub $\log_fg$ korzystamy z poniższych przekształceń:

1. jeżeli $f(x)>0$ dla $x\in (a,b)$, to na przedziale $(a,b)$ zachodzi równość: $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\cdot\ln f(x)}$,
2. jeżeli $f(x)>0$ i $f(x)\neq1$ i $g(x)>0$ dla $x\in (a,b)$, to na przedziale $(a,b)$ zachodzi równość: $\log_{f(x)}g(x)=\frac{\ln g(x)}{\ln f(x)}$.