Pochodna funkcji jednej zmiennej - 20.03: Teoria

Jeżeli istnieje pochodna funkcji $f^\prime$ w punkcie $x_0$ , to nazywamy ją pochodną rzędu drugiego funkcji $f$ w punkcie $x_0$ i oznaczamy

$f^{\prime\prime}(x_0)$ lub $\frac{d^2f}{dx^2} (x_0)$ .

Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów. Niech $n\in \mathbb{N}$ . Wówczas:

$f^{(0)}(x)=f(x)$ ,

$f^{(1)}(x)=f'(x)=\frac{df}{dx} (x)$ ,

$\ \ \ \ \vdots$

$f^{(n)}(x)=\left( f^{(n-1)}(x)\right)'=\frac{d^nf}{dx^n} (x)$ .

Taylora

Jeżeli funkcja

$f$ ma ciągłe pochodne do rzędu

$n-1$ włącznie na przedziale domkniętym o końcach

$x_0$ i

$x$ oraz ma pochodną rzędu

$n$ wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt

$c$ pomiędzy punktami

$x_0$ i

$x$ , że

$f(x)=f(x_0)+\frac{f^\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots$
$\ \ \ \ \ \ \ldots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_0)^{n}$ .

Powyższy wzór nazywany jest wzorem Taylora, zaś wyrażenie $R_n(x)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_0)^{n}$ resztą Taylora w postaci Lagrange'a.

Jeżeli $x_0=0$ , to wzór Taylora ma postać

$f(x)=f(0)+\frac{f^\prime(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}( 0)}{2!}x^2+ \ldots +\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^{n}$

i nazywany jest wzorem Maclaurina (punkt $c$ leży pomiędzy $0$ i $x$ ). Pomijając w powyższym wzorze resztę Taylora $R_n(x)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^{n}$ , otrzymujemy przybliżenie (aproksymację) funkcji $f$ za pomocą wielomianu:

$f(x)\approx f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''( 0)}{2!}x^2+ \ldots +\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}$ ,

przy czym błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $|R_n(x)|$ . Jeżeli wszystkie pochodne funkcji $f$ są wspólnie ograniczone, to $\lim\limits_{n\to +\infty}R_n(x)=0$ . Wówczas możemy obliczyć wartość funkcji $f$ z dowolną dokładnością.