Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Przykład 1
 Stacja orbitalna porusza się prostoliniowo na wysokości $H=400 km$ nad Ziemią z prędkością $v=500 km/h$. Antena odbierająca sygnały znajduje się bezpośrednio pod trajektorią stacji. W każdej chwili oś anteny jest skierowana na stację, Jaka jest prędkość kątowa anteny w chwili, gdy stacja znajduje się  w odległości $D=200$ km od anteny?
    
    Rozwiązanie:

Jeśli współrzędna kątowa ciała określa kąt $\alpha$, to wartość prędkości kątowej $\omega$ jest równa:

    $\omega =\frac{d\alpha }{dt}.$

    gdzie $t$ oznacza czas. 
    RYSUNEK
    

Wyznaczamy zatem kąt $\alpha$. Zauważmy, że 

   $\mathbb{tg} \alpha =\frac{D}{H}=\frac{vt}{H}.$

Stąd

      $\alpha =\mathbb{arctg} \left( \frac{vt}{H}\right).$

Zatem

    $\omega =\frac{d\alpha }{dt}=\frac{d}{dt}\mathbb{arctg} \left( \frac{vt}{H}\right)=\frac{1}{1+\left( \frac{vt}{H}\right)^{2}}\cdot \frac{v}{H}=\frac{vH}{H^{2}+D^{2}}.$

Po podstawieniu danych otrzymujemy, że prędkość kątowa anteny w chwili, gdy stacja znajduje się w odległości $D=200 km$ od anteny wynosi

   $\omega =1\ \left[\frac{\text{rad}}{h}\right].$
   

Przykład 4

Stół bilardowy ma następujący kształt (bandy są w kształcie parabol). Gracz ma
możliwość ustawienia bili w dowolnym miejscu na linii łączącej wierzchołki parabol. Jego zadanie polega na traeniu do pokazanego otworu przy wykorzystaniu dokładnie jednego odbicia od bandy. Zakładając, że ustawił bilę w konkretnym miejscu, w którym kierunku powinien uderzyć?

Przykład 5

z zerami

bez zer