Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Zadania do samodzielnego rozwiązania wypukłość/wklęsłość

Zadanie 1

Wyznacz przedziały wypukłości/wklęsłości funkcji $f$:

(a) $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+2x-1$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $(0,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-\infty ,0)$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(b) $f(x)=x-\mathrm{arctg}x$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $(0,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-\infty ,0)$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(c) $f(x)=e^{x^{2}}$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\infty ,-\frac{1}{4})$, $(0,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-\frac{1}{4} ,0)$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(d) $f(x)=x^{2}\ln x$.

Odpowiedź $D=(0,+\infty )$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $\ (e^{- \frac{3}{2}},+\infty )$, wklęsła na przedziale $(0,e^{-\frac{3}{2}})$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

Zadanie 2

Wyznacz przedziały wypukłości/wklęsłości funkcji $f$:

(a) $f(x)=\frac{4x}{x^{2}+1}$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\sqrt{3},0)$, $(\sqrt{3},+\infty )$, wklęsła na przedziałach $(-\infty ,-\sqrt{3})$ , $(0,\sqrt{3})$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(b) $f(x)=(x^{2}+1)e^{x}$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\infty ,-3)$ , $(1,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-3,1)$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(c) $f(x)=\sqrt{x^{2}-1}$,

Odpowiedź $D=\mathbb{(}-\infty ,-1]\cup \lbrack 1,+\infty )$. Funkcja $f$ jest wklęsła na przedziałach $(-\infty ,-1)$, $(1,+\infty )$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(d) $f(x)=e^{\frac{x}{x+1}}$.

Odpowiedź $D=\mathbb{(}-\infty ,-1)\cup (-1,+\infty )$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\infty ,-1)$, $(-1,-\frac{1}{2})$, wklęsła na przedziale $(-\frac{1}{2},+\infty )$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

    Zadanie 3

Wyznacz punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji $f$:

    a) $f(x)=x^3-3x^2$

    Odpowiedź. $D=R.$ Punkt przegięcia $P=(1,-2)$. Funkcja jest wypukła na przedziale $(1,+\infty)$, wklęsła na przedziale $(-\infty,1)$.

    b) $f(x)=x^2e^{-x}$

    Odpowiedź. $D=R$. Funkcja ma dwa punkty przegięcia $P_1=(2-\sqrt2,(2-\sqrt2)^2⋅e^{-2+\sqrt2})$, $P_2=(2+\sqrt2,(2+\sqrt2)^2⋅e^{-2-\sqrt2})$. Funkcja jest wypukła na przedziałach $(-\infty,2-\sqrt2)$, $(2+\sqrt2,+\infty)$, wklęsła na przedziale $(2-\sqrt2,2+\sqrt2)$.

    c) $f(x)=2x+\frac{4}{x}$

    Odpowiedź. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} .$ Brak punktów przegięcia. Funkcja jest wypukła na przedziale $(0,+\infty)$, wklęsła na przedziale $(-∞,0)$.

    d) $f(x)=\ln^2x$

    Odpowiedź. $D=(0,+\infty )$. Funkcja ma jeden punkt przegięcia $P=(e,1)$, jest wypukła na przedziale $(0,e)$, wklęsła na przedziale $(e,+\infty)$.

Zadanie 4

Wyznacz przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji $f$:

a) $f(x)=\ln (1+x^{2})$

Odpowiedź. $D=R$. Punkty przegięcia: $P_1=(-1,\ln2)$, $P_2=(1,\ln2)$. Funkcja jest wypukła na przedziale $(-1,1)$, wklęsła na przedziałach $(-\infty,-1)$, $(1,+\infty)$.

b)  $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$

Odp.  $D=\mathbb{R}.$ Punkt przegięcia:  $P=(0,0).$ Funkcja jest wypukła na przedziale $\left( -\infty,0\right),$ wklęsła na przedziale $\left( 0,+\infty \right) .$

c) $f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-3}$

Odpowiedź. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3\right\}$.  Brak punktów przegięcia.
Funkcja jest wypukła na przedziale $\left( 3,+\infty \right)$, wklęsła na przedziale $\left( -\infty ,3\right)$.

d) $f(x)=x\ln (1-x)$

Odpowiedź. $D=\left( -\infty ,1\right)$.  Brak punktów przegięcia. Funkcja jest wklęsła na na przedziale $\left( -\infty ,1\right)$.