Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Zadania do samodzielnego rozwiązania wypukłość/wklesłość

Zadanie 1

Wyznacz przedziały wypukłości/wklęsłości funkcji $f$:

(a) $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+2x-1$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $(0,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-\infty ,0)$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną pierwszego i drugiego rzędu funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(b) $f(x)=x-\mathrm{arctg}x$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $(0,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-\infty ,0)$.

Wskazówka Wyznaczyćdziedzinę funkcji, obliczyć pochodną pierwszego i drugiego rzędu funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(c) $f(x)=e^{x^{2}}$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\infty ,-\frac{1}{4})$, $(0,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-\frac{1}{4} ,0)$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną pierwszego i drugiego rzędu funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(d) $f(x)=x^{2}\ln x$.

Odpowiedź $D=(0,+\infty )$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $\ (e^{- \frac{3}{2}},+\infty )$, wklęsła na przedziale $(0,e^{-\frac{3}{2}})$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną pierwszego i drugiego rzędu funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

Zadanie 2

Wyznacz przedziały wypukłości/wklęsłości funkcji $f$:

(a) $f(x)=\frac{4x}{x^{2}+1}$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\sqrt{3},0)$, $(\sqrt{3},+\infty )$, wklęsła na przedziałach $(-\infty ,-\sqrt{3})$ , $(0,\sqrt{3})$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną pierwszego i drugiego rzędu funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(b) $f(x)=(x^{2}+1)e^{x}$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\infty ,-3)$ , $(1,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-3,1)$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną pierwszego i drugiego rzędu funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(c) $f(x)=\sqrt{x^{2}-1}$,

Odpowiedź $D=\mathbb{(}-\infty ,-1]\cup \lbrack 1,+\infty )$. Funkcja $f$ jest wklęsła na przedziałach $(-\infty ,-1)$, $(1,+\infty )$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną pierwszego i drugiego rzędu funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(d) $f(x)=e^{\frac{x}{x+1}}$.

Odpowiedź $D=\mathbb{(}-\infty ,-1)\cup (-1,+\infty )$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\infty ,-1)$, $(-1,-\frac{1}{2})$, wklęsła na przedziale $(-\frac{1}{2},+\infty )$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną pierwszego i drugiego rzędu funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.