Pochodna funkcji jednej zmiennej

Definicja

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ punktu $x_{0}$. Niech $\triangle x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim, że $x_{0}+\triangle x$ należy do tego otoczenia. Niech $\triangle f=f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem wartości funkcji odpowiadającym przyrostowi $\triangle x$. Ilorazem różnicowym funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ dla przyrostu $\triangle x$ nazywamy wyrażenie

$\frac{\triangle f}{\triangle x}=\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{ \triangle x}$.

Jeżeli istnieje i jest skończona granica

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}$,

to nazywamy ją pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f^{\prime }(x_{0})$ lub $\frac{df}{dx}(x_{0})$. Zatem

$f^{\prime }(x_{0})=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{ f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}$

(o ile granica ta istnieje i jest skończona).

FILM

Funkcję jednej zmiennej, która ma pochodną w punkcie $x_{0}$ nazywamy funkcją różniczkowalną w tym punkcie.

Uwaga

Iloraz różnicowy może być także zapisany w postaci

$\frac{\triangle f}{\triangle x}=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ } x\in U_{x_0}$.

Wówczas pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ ma postać

$f^{\prime }(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{ x-x_{0}}$.

Definicja  

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym prawostronnym otoczeniu $x_{0}$. Niech $\triangle x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim, że $x_{0}+\triangle x$ należy do tego otoczenia. Niech $\triangle f=f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem funkcji odpowiadającym przyrostowi $\triangle x$. Jeżeli istnieje i jest skończona granica

 $\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}$,

to nazywamy ją pochodną prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})$ lub $\frac{df}{dx}(x_{0}^{+})$. Zatem

$f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}$.

Uwaga

Pochodna prawostronna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ może być także zapisana w postaci

$f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\frac{ f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ } x\in U^{+}_{x_0}$.

Definicja

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym lewostronnym otoczeniu $x_{0}$. Niech $\triangle x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim, że $x_{0}+\triangle x$ należy do tego otoczenia. Niech $\triangle f=f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem funkcji odpowiadającym przyrostowi $\triangle x$. Jeżeli istnieje i jest skończona granica

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}) }{\triangle x}$

to nazywamy ją pochodną lewostronną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})\text{ lub }\frac{df}{dx}(x_{0}^{-})$. Zatem

$f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}$.

Uwaga 

Pochodna lewostronna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ może być także zapisana w postaci

$f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\frac{ f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ }x\in U^{-}_{x_0}$.

Twierdzenie 1 - warunek konieczny i wystarczający istnienia pochodnej w punkcie

Funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją i są sobie równe pochodne jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$. Wówczas

$f^{^{\prime }}(x_{0})=f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})$.

Definicja

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Mówimy, że funkcja $f$ ma pochodną niewłaściwą w punkcie $x_{0}$, gdy

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{ \triangle x}=-\infty\text{ lub }\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{ f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}=+\infty$.

Wówczas piszemy

$\bigskip f^{^{\prime }}(x_{0})=-\infty\text{ lub }f^{^{\prime }}(x_{0})=+\infty$.

Definicja

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym prawostronnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Mówimy, że funkcja $f$ ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie $x_{0}$, gdy

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}) }{\triangle x}=-\infty \text{ lub }\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{+}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}=+\infty \text{.}$

Wówczas piszemy

$f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=-\infty\text{ lub }f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=+\infty$.

Definicja

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym lewostronnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Mówimy, że funkcja $f$ ma pochodną niewłaściwą lewostronną w punkcie $x_{0}$, gdy

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}) }{\triangle x}=-\infty\text{ lub }\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{-}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}=+\infty$.

Wówczas piszemy

$f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=-\infty\text{ lub }f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=+\infty$.

Definicja

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na zbiorze $D\subset \mathbb{R}$. Jeżeli $f$ ma pochodną w każdym punkcie zbioru  $\text{A}\subset D$, to funkcję

$f^{^{\prime }}:x\colon\mapsto f^{^{\prime }}(x),\text{ } x\in \text{A}$

nazywamy funkcją pochodną lub pochodną funkcji $f$ na zbiorze $\text{A}$.

Twierdzenie 

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu punktu $x_0$. Jeżeli $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}$, to jest ciągła w tym punkcie.

Uwaga

Implikacja odwrotna nie zachodzi, tzn. nie jest prawdą, że jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie $x_{0}$, to jest różniczkowalna w tym punkcie. Przykładem funkcji, która jest ciągła i nieróżniczkowalna w $x_{0}=0$ jest $f(x)=|x|$.