Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Zadania do rozdziału 1.1

Zadanie 1

Korzystając z definicji pochodnej wyznacz pochodną funkcji $f$ we wskazanym punkcie:

(a)  $f(x)=3x-4$ w punkcie $x_{0}=2$,  

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(2)=3$.

Wskazówka  $f^{^{\prime }}(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2) }{x-2}$, gdzie $f(2)=3\cdot 2-4$.

(b) $f(x)=2-x^{3}$ w punkcie $x_{0}=1$,

Odpowiedź  $f^{^{\prime }}(1)=-3$.

Wskazówka $f^{^{\prime }}(1)=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1) }{x-1}$, gdzie $f(1)=2-(1)^{3}$.

(c) $f(x)=\frac{1}{x}$ w punkcie $x_{0}=2$,

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(2)=-\frac{1}{4}$.

Wskazówka  $f^{^{\prime }}(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$, gdzie $f(2)=\frac{1}{2}$.

(d) $f(x)=\sin x$ w punkcie $x_{0}=\frac{\pi }{2}$,

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(\frac{\pi }{2})=0$.

Wskazówka  $f^{^{\prime }}(\frac{\pi }{2})=\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{f(x)-f(\frac{\pi }{2})}{x-\frac{\pi }{2}}$, gdzie $f(\frac{\pi }{2})=\sin (\frac{\pi }{2})$.

Wykorzystać wzory $\sin (\alpha )-\sin (\beta )=2\cdot \sin (\frac{\alpha -\beta }{2})\cdot \cos (\frac{\alpha +\beta }{2})$ i $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}=1$.

(e) $f(x)=\sqrt{3x+3}$ w punkcie $x_{0}=2$,

Odpowiedź $f'(2)=\frac{1}{2}$.

Wskazówka  $f^{^{\prime }}(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2) }{x-2}$, gdzie $f(2)=\sqrt{3\cdot 2+3}$.

(f) $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x+3 & \text{dla} & x\leq -3 \\ x^{2}-9 & \text{dla} & x>-3 \end{array} \right.$ w punkcie $x_{0}=-3$,

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(-3)$ nie istnieje.

Wskazówka  Obliczyć pochodne jednostronne funkcji w punkcie $x_0=-3$.  Wartość funkcji $f$ w punkcie $x_{0}=-3$ jest równa $f(-3)=-3+3=0$.

(g) $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{1}{x} & \text{dla} & x0 \end{array} \right.$ w punkcie $x_{0}=0$.

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(0)=+\infty$.

Wskazówka  Obliczyć pochodne jednostronne funkcji $f_{+}^{^{\prime }}(0)$ i $f_{-}^{^{\prime }}(0)$. Wartość funkcji $f$ w punkcie $x_{0}=0$ jest równa $f(0)=1$.

Zadanie 2

Korzystając z definicji pochodnej wyznacz pochodną funkcji $f$ w dowolnym punkcie $x_{0}$ dziedziny:

(a) $f(x)=\cos x$,

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(x_{0})=-\sin x_{0}$,  $x_0\in \mathbb R$.

Wskazówka  $f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{ f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$. Skorzystać ze wzoru na różnicę cosinusów: $\cos (\alpha )-\cos (\beta )=-2\cdot \sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{ \alpha-\beta}{2}\right)$.

(b) $f(x)=x^{4}$,

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(x_{0})=4x_{0}^{3},$  $x_0\in \mathbb R$.

Wskazówka  $f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$. Skorzystać dwa razy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $x^{2}-x_{0}^{2}=(x-x_{0})(x+x_{0})$.

(c) $f(x)=\frac{1}{x}$.

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(x_{0})=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$,  $x_0\in \mathbb R\setminus \{0\}$. Wskazówka  $f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$.

Zadania do rozdziału 1.2

Zadanie 1

Korzystając ze wzorów bezpośrednich i praw działań na pochodnych oblicz pochodną funkcji:

a) $f(x)=2x^5+4e\sqrt[3]x+\frac1{x^6}-7$,

Odpowiedź  $f^\prime(x)=10x^4+\frac43ex^{-\frac23}-\frac6{x^7}$,

b) $f(x)=x^2\cdot\cos x$,

Odpowiedź  $f^\prime(x)=2x\cdot\cos x-x^2\cdot\sin x$,

c) $f(x)=\frac{\ln x}{x^4-5}$.

Odpowiedź $f^\prime(x)=\frac{\frac1x\cdot (x^4-5)-4x^3\cdot \ln x}{(x^4-5)^2}$.

Zadanie 2

Korzystając ze wzorów bezpośrednich i praw działań na pochodnych oraz twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej oblicz pochodną funkcji:

a) $f(x)=e^{4x}-\sin(x^3-2)+\mathrm{arctg}(x^6)-\ln^5 x$,

Odpowiedź  $f^\prime(x)=4e^{4x}-3x^2\cdot\cos(x^3-2)+\frac{6x^5}{1+x^{12}}-\frac{5\ln^4x}x$.

b) $f(x)=\sqrt{x^6+\mathrm{tg}x-e^x+1}$,

Odpowiedź $f^\prime(x)=\frac{6x^5+\frac1{\cos^2x}-e^x}{2\sqrt{x^6+\mathrm{tg}x-e^x+1}}$,

c) $f(x)=\sqrt x\cdot \mathrm{arcsin}3x$, 

Odpowiedź $f^\prime(x)=\frac1{2\sqrt x}\cdot \mathrm{arcsin}3x+\frac{3\sqrt x}{\sqrt{1-9x^2}}$,

d) $(x)=e^{-x}\cdot \sin 2x$,

Odpowiedź $f^\prime(x)=-e^{-x}\cdot \sin2x+2e^{-x}\cos 2x$,

e) $f(x)=\frac{\cos4x}{x^2+4}$, 

Odpowiedź  $f^\prime(x)=\frac{-4\left(x^2+4\right)\cdot\sin4x-2x\cdot\cos4x}{\left(x^2+4\right)^2}$,

f) $f(x)=\frac{\mathrm{tg} 2x+1}{7x-e^{2x}}$.

Odpowiedź  $f^\prime(x)=\frac{\frac2{\cos^22x}\cdot\left(7x-e^{2x}\right)-\left(7-2e^{2x}\right)\cdot\left(\mathrm{tg} 2x+1\right)}{\left(7x-e^{2x}\right)^2}$.

Zadanie 3

Oblicz pochodną funkcji:

a) $f(x)=\frac{\ln^3 x}{2^x\cdot \sin 3x}$, 

Odpowiedź  $f^\prime(x)=\frac{\frac{3\ln^2x}{x}\cdot2^x\cdot \sin 3x-\ln^3x\cdot\left( 2^x\cdot\ln2\cdot\sin3x+2^x\cdot3\cos3x\right)}{2^{2x}\cdot\sin^23x}$,

b) $f(x)=x^7\cdot\log_3 (x^2+5)\cdot \sqrt{\mathrm{arcctg}x}$, 

Wskazówka $f(x)=\big(x^7\cdot\log_3 (x^2+5)\big)\cdot \sqrt{\mathrm{arcctg}x}$,

Odpowiedź  $f^\prime(x)=\left(7x^6\cdot\log_3 (x^2+5)+x^7\cdot \frac{2x}{\left(x^2+5\right)\cdot\ln3}\right)\cdot \sqrt{\mathrm{arcctg}x}-\frac{x^7\cdot\log_3 (x^2+5)}{2\left(x^2+1\right)\cdot\sqrt{\mathrm{arcctg}x}}$,

c) $f(x)=\sin\left(\cos\left(x^5\right)\right)$,

Odpowiedź $f^\prime(x)=-5x^4\cos\left(\cos\left(x^5\right)\right)\cdot\sin \left(x^5\right)$,

d) $f(x)=\sin^5\left(\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg} x}\right)$,

Odpowiedź  $f^\prime(x)=5\sin^4\left(\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg}x}\right)\cdot\cos\left(\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg}x}\right)\cdot \frac1{2\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg} x}}\cdot\left(5\mathrm{ctg}x -\frac{5x}{\sin^2x}\right)$,

e) $f(x)=\left(\mathrm{arctg}x\right)^{\sin x}$.

Wskazówka $f(x)=e^{\sin x\cdot \ln\left(\mathrm{arctg}x\right)}$.

Odpowiedź  $f^\prime(x)=e^{\sin x\cdot \ln\left(\mathrm{arctg}x\right)}\cdot\left(\cos x\cdot \ln\mathrm{arctg}x+\frac{\sin x}{\left(1+x^2\right)\cdot \mathrm{arctg}x}\right)$.

Zadania do rozdziału 1.3

Zadanie 1

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji:

(a) $f(x)=\frac{x+2}{x^{3}+2x+1}$ w punkcie $x_0=1$,

Odpowiedź $y=-\frac{11}{16}x+\frac{23}{16}$.

Wskazówka  Obliczyć $f(1)$, $f^{^{\prime }}(x)$, $f^{^{\prime }}(1)$. Wartości $f(1)$ i $f^{^{\prime }}(1)$ podstawić do wzoru $y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

(b) $f(x)=x^{3}-4x$ w punkcie $x_{0}=3$,

Odpowiedź  $y=23x-54$.

Wskazówka  Obliczyć $f(3)$, $f^{^{\prime }}(x)$, $f^{^{\prime }}(3)$. Wartości $f(3)$ i $f^{^{\prime }}(3)$ podstawić do wzoru $y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

(c) $f(x)=1-2^{x}$ w punkcie $x_{0}=3$.

Odpowiedź  $y=-8x\ln 2+24\ln 2-7$.

Wskazówka  Obliczyć $f(3)$, $f^{^{\prime }}(x)$, $f^{^{\prime }}(3)$. Wartości $f(3)$ i $f^{^{\prime }}(3)$ podstawić do wzoru $y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

Zadanie 2

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji:

(a) $f(x)=\ln x+1$ w punkcie $x_0=e$,

Odpowiedź  $y=\frac{x}{e}+1$.

Wskazówka  Obliczyć $f(e)$, $f^{^{\prime }}(x)$, $f^{^{\prime }}(e)$ i otrzymane wartości $f(e)$ i $f^{^{\prime }}(e)$ podstawić do wzoru $y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

(b) $f(x)=2+xe^{2x}$ w punkcie $x_{0}=0$,

Odpowiedź  $y=x+2$.

Wskazówka  Obliczyć $f(0)$, $f^{^{\prime }}(x)$, $f^{^{\prime }}(0)$ i otrzymane wartości $f(0)$ i $f^{^{\prime }}(0)$ podstawić do wzoru $y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

(c) $f(x)=\mathrm{arctg}^{2}x$ w punkcie $x_{0}=\sqrt{3}$.

Odpowiedź  $y=\frac{\pi }{6}x-\frac{3\sqrt{3}\pi -2\pi ^{2}}{18}$.

Wskazówka  Obliczyć $f(\sqrt{3})$, $f^{^{\prime }}(x)$, $f^{^{\prime }}(\sqrt{3})$ i otrzymane wartości $f(\sqrt{3})$ i $f^{^{\prime }}(\sqrt{ 3})$ podstawić do wzoru $y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.