Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Twierdzenie -- reguła de l'Hospitala.

Niech funkcje $f,g$ będą różniczkowalne na pewnym sąsiedztwie punktu $x_0$. Jeżeli

1. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0, \quad \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$,
2. istnieje granica $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ (właściwa lub niewłaściwa),

to istnieje granica $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$, przy czym

$\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$

Uwaga 1. Powyższe twierdzenie dotyczy symbolu nieoznaczonego typu $\frac 00$, ale przy odpowiedniej zmianie założeń pozostaje prawdziwe dla symbolu $\frac{\infty}{\infty}$ oraz dla granic jednostronnych i granic w $\pm \infty$.

Uwaga 2. Regułę można także stosować do pozostałych symboli nieoznaczonych, po sprowadzeniu ich do symbolu $\frac 00$ lub $\frac{\infty}{\infty}$ w następujący sposób:

• symbol $0\cdot \infty$ sprowadzamy do $\frac 00$ lub $\frac{\infty}{\infty}$ za pomocą przekształceń:
  $\ \qquad f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}};$
• symbol $\infty - \infty$ przekształcamy najpierw do symbolu $0\cdot \infty$ a następnie do $\frac 00$ lub $\frac{\infty}{\infty}$:
  $\ \qquad f(x)- g(x)=f(x)g(x)\left( \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}\right)=\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}};$
  
• symbole $1^{\infty}$, $0^0$ oraz $\infty^0$ sprowadzamy do $0\cdot \infty$ za pomocą tożsamości $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\cdot \ln f(x)}$ (wyrażenie $f(x)\cdot \ln g(x)$ jest zawsze wówczas symbolem typu $0\cdot \infty$).