Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Zadanie 1.

Stosując regułę de l'Hospitala obliczyć granice funkcji:

(a) $\lim\limits_{x\to\infty}\frac {e^{3x}}{x+3}\quad$    Odp. $\infty$

(b) $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{\ln x};\quad$ Odp. $\infty$

(c) $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{e^x-1};\quad$ Odp. $1$

(d) $\lim\limits_{x\to0}\frac{\mathrm{arctg}x}{\arcsin x};\quad$ Odp. $1$

(e) $\lim\limits_{x\to4^-}\frac{\mathrm{arctg}(x-4)}{\sqrt x-2};\quad$ Odp. $4$

(f) $\lim\limits_{x\to1^+}\frac{\ln(2-x)}{(x-1)^2};\quad$ Odp. $-\infty$

(g) $\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x-\mathrm{tg} x};\quad$ Odp. $-\frac{1}2$

(h) $\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\sin\frac1x}{1-e^{\frac1x}};\quad$ Odp. $-1$

(i) $\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{1-\sqrt{\cos x}};\quad$ Odp. $4$

Zadanie 2.

Obliczyć granice funkcji:

(a) $\lim\limits_{x\to\infty}\left(e^x-\ln x\right);\quad$ Wskazówka $\quad \left(e^x-\ln x\right)= e^x\cdot \left(1-\frac{\ln x}{e^ x}\right);\quad$ Odp.$\infty$

(b) $\lim\limits_{x\to0^+}\left(\frac1x-\frac{1}{\mathrm{tg} x}\right);\quad$ Wskazówka $\quad \left(\frac1x-\frac{1}{\mathrm{tg} x}\right)=\frac{\mathrm{tg} x-x}{x\mathrm{tg} x};\quad$ Odp. $0$

(c) $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x^2+1\right)\cdot e^x;\quad$ Wskazówka $\quad \left(x^2+1\right)\cdot e^x= \frac{x^2-1}{e^{-x}};\quad$ Odp. $0$

(d) $\lim\limits_{x\to0^+}\frac1{x\ln x};\quad$ Wskazówka $\quad x\cdot\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}x};\quad$ Odp. $-\infty$

(e) $\lim\limits_{x\to0^+}\left(1-e^x\right)\cdot\mathrm{ctg} x;\quad$ Wskazówka $\quad \left(1-e^x\right)\cdot\mathrm{ctg} x=\frac{1-e^x}{\mathrm{tg} x};\quad$ Odp. $-1$

(f) $\lim\limits_{x\to0^-}x\cdot e^{-\frac1x};\quad$ Wskazówka $\quad x\cdot e^{-\frac1x}=\frac{e^{-\frac1x}}{\frac1{x}};\quad$ Odp. $-\infty$

(g) $\lim\limits_{x\to0^+}\left(\sin x\right)^x;\quad$ Wskazówka $\quad\left(\sin x\right)^x=e^{x\ln (\sin x)},\; x\cdot\ln (\sin x)=\frac{\ln (\sin x)}{\frac{1}x};\quad$ Odp. $1$

(h) $\lim\limits_{x\to0^+}x^{\sin x};\quad$ Wskazówka $\quad x^{\sin x}=e^{\sin x\cdot\ln x},\; \sin x\cdot\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}};\quad$ Odp. $1$