Skip to main content

Print this chapter

Print this chapter

Pochodna funkcji jednej zmiennej

4. Monotoniczność funkcji, ekstrema lokalne i ekstrema globalne

4.4 Zadania

1

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:

$f(x)=2x^3-3x^2$ ,
$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}$ ,
$f(x)=\frac{x}{x^2+4}$ ,
$f(x)=x-5\operatorname{arctg}x$ ,

Wskazówka

$f^\prime(x)=6x^2-6x$ ,
$f^\prime(x)=\frac{- 6x}{(x^2-4)^2}$ ,
$f^\prime(x)=\frac{4-x^2}{(4+x^2)^2}$ ,
$f^\prime(x)=\frac{x^2-4}{x^2+1}$ ,

Odpowiedź

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$ . Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$ , $(1,+\infty)$ , malejąca na przedziale $(0,1)$ , w punkcie $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(0)=0$ , w punkcie $x=1$ funkcja ma minimum lokalne, $f(1)=-1.$
Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{-2, 2\}$ . Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$ , $(-2,0)$ , malejąca na każdym z przedziałów: $(0,2)$ , $(2,+\infty)$ , w punkcie $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(0)=\frac14$ .
Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$ . Funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$ , $(2,+\infty)$ , rosnąca na przedziale $(-2,2)$ , w punkcie $x=-2$ funkcja ma minimum lokalne, $f(-2)=-\frac{1}4$ , w punkcie $x=2$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(2)=\frac14$ .
Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$ . Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$ , $(2,+\infty)$ , malejąca na przedziale $(-2,2)$ , w punkcie $x=-2$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(-2)=-2-5\operatorname{arctg}(-2)$ , w punkcie $x=2$ funkcja ma minimum lokalne, $f(2)=2-5\operatorname{arctg}2$ .

2

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:

$f(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$ ,
$f(x)=x^2 e^x$ ,
$f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2}$ ,
$f(x)=x^3 e^{-x}$ ,

Wskazówka

$f^\prime(x)=\frac{e^x (x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}$ ,
$f^\prime(x)=(2x+x^2) e^x$ ,
$f^\prime(x)=\frac{2e^{2x} (x^2-x)}{x^4}$ ,
$f^\prime(x)=e^{-x} (3x^2-x^3)=x^2 e^{-x}(3-x)$ ,

Odpowiedź

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$ . Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$ , $(0,+\infty)$ , malejąca na przedziale $(-2,0)$ , w punkcie $x=0$ funkcja ma minimum lokalne, o wartości $f(0)=0$ , w punkcie $x=-2$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(-2)=4e^{-2}$ .
Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ . Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$ , $(1,+\infty)$ , malejąca na przedziale $(0,1)$ , w punkcie $x=1$ funkcja ma minimum lokalne, $f(1)=e^2$ .
Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$ . Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$ , $(0,3)$ , malejąca na przedziale $(3,+\infty)$ , w punkcie j $x=3$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(3)=27e^{-3}$ .

3

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:

$f(x)=\frac{\ln x+1}{2x}$ ,
$f(x)=3x-x \ln 2x$ ,
$f(x)=\ln^3 x-3\ln^2 x$ .

Wskazówka

$f^\prime(x)=-\frac{\ln x}{2x^2}$ ,
$f^\prime(x)=2-\ln 2x$ ,
$f^\prime(x)=\frac{3\ln^2 x-6\ln x}{x}$ .

Odpowiedź

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, +\infty)$ . Funkcja jest rosnąca na przedziale $(0,1)$ , malejąca na przedziale $(1,+\infty)$ , w punkcie $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(1)=\frac12$ .
Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, +\infty)$ . Funkcja jest rosnąca na przedziale $\left(0,\frac12e^2\right)$ , malejąca na przedziale $\left(\frac12e^2,+\infty\right)$ , w punkcie $x=\frac12e^2$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(\frac12e^2)=\frac32e^2-e^2$ .
Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, +\infty)$ . Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(0,1)$ , $\left(e^2,+\infty\right)$ , malejąca na przedziale $(1,e^2)$ , w punkcie $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(1)=0$ , w punkcie $x=e^2$ funkcja ma minimum lokalne, $f(e^2)=-4$ .

4

Wyznacz asymptoty, ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności oraz naszkicuj wykres funkcji określonej wzorem:

$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ ,
$f(x)=x e^{-x}$ ,
$f(x)=\frac{x^2}{2-4\ln x}$ .

Wskazówka

Asymptotę pionową wykres funkcji $f$ może posiadać w punkcie $x=1$ , ukośną w $-\infty, \; +\infty$ , $f^\prime(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ .
Asymptotę ukośną wykres funkcji $f$ może posiadać w $-\infty, \; +\infty$ , asymptoty pionowej wykres funkcji $f$ nie posiada. $f^\prime(x)=e^{-x} (1-x)$ .
Asymptotę pionową wykres funkcji może posiadać w punktach: $x=0$ , $x=e^{\frac12}$ , asyptotę ukośną wykres funkcji może posiadać w $+\infty$ . $f^\prime(x)=\frac{x\left(8-8\ln x\right)}{\left(2-4\ln x\right)^2}$ .

Odpowiedź

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ . Funkcja ma asymptotę pionową obustronną $x=1$ , asymptotę ukośną $y=x+1$ w $-\infty$ i w $+\infty$ . Funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów: $(0,1)$ , $(1,2)$ , rosnąca na każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$ , $(2,+\infty)$ , w punkcie $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(0)=0$ , w punkcie $x=2$ funkcja ma minimum lokalne, $f(2)=4$ .
Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$ . Funkcja ma asymptotę poziomą $y=0$ w $+\infty$ . Funkcja jest rosnąca na przedziale $(-\infty, 1)$ , malejąca na przedziale $(1,+\infty)$ , w punkcie $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(1)=e^{-1}$ .
Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\left(0, e^{\frac12}\right)\cup\left(e^{\frac12},+\infty\right)$ . Funkcja ma asymptotę pionową obustronną $x=e^{\frac12}$ . Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów $\left(0, e^{\frac12}\right)$ , $\left(e^{\frac12}, e\right)$ , malejąca na przedziale $\left(e,+\infty\right)$ , w punkcie $x=e$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(e)=-\frac{e^2}{2}$ .

5

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x)=x^3-3x$ na przedziale $\left[-\frac32,\frac32\right]$ .

Odpowiedź

Największą wartość w przedziale

$\left[-\frac32,\frac32\right]$ (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla

$x=-1$ i wartość ta jest równa

$2$ , najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla

$x=1$ i wartość ta jest równa

$-2$ .

6

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x)=2x^3-3x^2-36x-8$ na przedziale $\left[-3,6\right]$ .

Odpowiedź

Największą wartość w przedziale

$\left[-3,6\right]$ (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla

$x=6$ i wartość ta jest równa

$100$ , najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla

$x=3$ i wartość ta jest równa

$-89$ .

7

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x)=\sqrt x-x$ na przedziale $\left[0,4\right]$ .

Odpowiedź

Największą wartość w przedziale

$\left[0,4\right]$ (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla

$x=\frac14$ i wartość ta jest równa

$\frac14$ , najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla

$x=4$ i wartość ta jest równa

$-2$ .

8

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x)=x^2\ln x$ na przedziale $\left[1,e\right]$ .

Wskazówka

Funkcja jest rosnąca w przedziale

$\left[1,e\right]$ .

Odpowiedź

Największą wartość w przedziale

$\left[1,e\right]$ (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla

$x=e$ i wartość ta jest równa

$e^2$ , najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla

$x=1$ i wartość ta jest równa

$0$ .

9

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x)=-\frac14\cos2x+\frac12\cos x+3$ na przedziale $\left[-\frac\pi2,\pi\right]$ .

Odpowiedź

Największą wartość w przedziale

$\left[-\frac\pi2,\pi\right]$ (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla

$x=-\frac\pi3$ oraz

$x=\frac\pi3$ i wartość ta jest równa

$\frac{27}8$ , najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla

$x=\pi$ i wartość ta jest równa

$\frac94$ .

10

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x)=\frac{e^{2x}}{1+e^{-x}}$ na przedziale $\left[-1,0\right]$ .

Wskazówka

Funkcja jest rosnąca w przedziale

$\left[-1, 0\right]$ .

Odpowiedź

Największą wartość w przedziale

$\left[-1,0\right]$ (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla

$x=0$ i wartość ta jest równa

$\frac12$ , najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla

$x=-1$ i wartość ta jest równa

$\frac{1}{e^2\left(1+e\right)}$ .

11

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x)=\ln^3 x+3\ln^2 x$ na przedziale $\left[e^{-3},e^2\right]$ .

Odpowiedź

Największą wartość w przedziale

$\left[e^{-3},e^2\right]$ (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla

$x=e^2$ i wartość ta jest równa

$20$ , najmniejszą wartość (minimum globalne) funkcja przyjmuje w punktach

$x=1$ ,

$x=e^{-3}$ i wartość ta jest równa

$0$ .

12

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x)=\frac{x}{x^2+2x-3}$ na przedziale $\left[-2,0\right]$ .

Wskazówka

Funkcja jest malejąca w przedziale

$\left[-2, 0\right]$ .

Odpowiedź

Największą wartość w przedziale

$\left[-2,0\right]$ (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla

$x=-2$ i wartość ta jest równa

$\frac23$ , najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla

$x=0$ i wartość ta jest równa

$0$ .