Pochodna funkcji jednej zmiennej - 24 sty

 Definicja
    Punkt $P(x_0,f(x_0))$  nazywamy punktem przegięcia funkcji $f$, jeżeli istnieje styczna do tej krzywej w punkcie $P$ oraz funkcja ta jest
    wypukła (wklęsła) na pewnym lewostronnym oraz wklęsła (wypukła) na pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu $x_0$.
Twierdzenie -- warunek konieczny istnienia punktu przegięcia

Jeżeli funkcja $f$ ma ciągłą pochodną drugiego rzędu w punkcie $x_0$ oraz $(x_0, f(x_0))$
    jest punktem przegięcia tej funkcji, to $f''(x_0)=0.$
Twierdzenie --  I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Załóżmy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ oraz dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie $S_{x_0}$ punktu $x_0$. Jeżeli wykres $f$ ma styczną w punkcie $(x_0, f(x_0))$ oraz
    
    (1) $f''(x)>0$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f''(x)$ dla $x\in S^+_{x_0}$
    lub
    
    (2) $f''(x)$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f''(x)>0$ dla $x\in S^+_{x_0}$,
    to $(x_0, f(x_0))$ jest punktem przegięcia funkcji $f$.

    Twierdzenie -- II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
    Jeżeli funkcja $f$ ma pochodną trzeciego rzędu w punkcie $x₀$ i spełnia jednocześnie warunki:
(1) $f′′(x₀)=0$,
(2) $f′′′(x₀)≠0$,
(3) funkcja $f′′′$ jest ciągła w punkcie $x₀$, to $(x₀,f(x₀))$ jest punktem przegięcia funkcji $f$.