Pochodna funkcji jednej zmiennej

Załóżmy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu $x_0$.

Funkcję $f$ nazywamy:

1. wypukłą w punkcie $x_0$, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$, że dla każdego $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność $f(x)\geq f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)$;
2. wklęsłą w punkcie $x_0$, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$, że dla każdego $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność $f(x)\leq f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)$.

Jeżeli nierówności w powyższych definicjach są ostre, to funkcja jest odpowiednio ściśle wypukła lub ściśle wklęsła.

Niech $f:(a,b)\to \mathbb{R}$. Przez $p$ oznaczamy funkcję liniową $p\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ przechodzącą przez punkty $(x_1, f(x_1))$ i $(x_2, f(x_2))$. Mówimy, że funkcja $f$ jest:

1. wypukła na przedziale $(a,b)$ jeżeli dla dowolnych $x_1, x_2\in (a,b)$, $x_1$, oraz $x\in (x_1, x_2)$ spełniony jest warunek $f(x)\leq p(x)$,
2. wklęsła na przedziale $(a,b)$ jeżeli dla dowolnych $x_1, x_2\in (a,b)$, $x_1$, oraz $x\in (x_1, x_2)$ spełniony jest warunek $f(x)\geq p(x)$.

Funkcja różniczkowalna $f\colon (a,b)\to \mathbb{R}$ jest wypukła (wklęsła) na przedziale $(a,b)$, wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału.

Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale $(a,b)$ oraz $f^{\prime\prime}(x)>0$ dla każdego $x\in (a,b)$, to funkcja $f$ jest ściśle wypukła na tym przedziale.

Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale $(a,b)$ oraz $f^{\prime\prime}(x)$ dla każdego $x\in (a,b)$, to funkcja $f$ jest ściśle wklęsła na tym przedziale.