Równanie ruchu harmonicznego prostego
Równanie ruchu to zapisana różniczkowo druga zasada dynamiki Newtona. W przypadku jednowymiarowym ogólna postać takiego równania wygląda następująco:
UWAGA !!! Dla uproszczenia zapisu w fizyce bardzo często stosuje się konwencję „kropkowania” symbolu wielkości zależnej od czasu dla oznaczenia jej pochodnej względem czasu. I tak na przykład mamy:
Jedyną siłą działającą na oscylator harmoniczny prosty jest siła zwrotna \(F=-kx\), więc równanie ruchu przyjmie w tym przypadku postać
Przygotowując się do jego rozwiązania dzielimy je obustronnie przez masę i grupujemy wszystkie wyrazy po lewej stronie
Wprowadźmy teraz oznaczenie
Równanie ruchu oscylatora harmonicznego prostego przyjmie ostatecznie postać
Z matematycznego punktu widzenia jest to jednorodne równanie różniczkowe liniowe drugiego stopnia. Rozwiązaniem równania różniczkowego nie jest jak w przypadku zwykłego równania jakaś konkretna wartość niewiadomej. Niewiadomą jest cała funkcja!!! Nie będziemy się tu wdawać w szczegóły ścisłego podejścia matematycznego. Dla naszych celów wystarczy zauważyć, że równanie ruchu oscylatora spełnia np. funkcja (podstaw ją do równania ruchu i przekonaj się sam)
Wykres powyższego rozwiązania wraz z objaśniającymi oznaczeniami pokazany jest poniżej
Równość \(2 \pi = \omega_{0} T\) wynika z faktu, iż okresem podstawowym funkcji sinus jest \(2 \pi\), zaś czas trwania jednego cyklu drgań to \(T\). Wyjaśnia się tym samym dlaczego akurat \(2 \pi f = 2 \pi / T\) warto było oznaczyć odrębnym symbolem \(\omega\). Argument sinusa byłby o dwa „znaczki” i kreskę ułamkową większy – prawda że fizycy są leniwi? ;-)