Pochodna funkcji jednej zmiennej - 20.03

Punkt $P(x_0,f(x_0))$ nazywamy punktem przegięcia funkcji $f$, jeżeli istnieje styczna do tej krzywej w punkcie $P$ oraz funkcja ta jest wypukła (wklęsła) na pewnym lewostronnym oraz wklęsła (wypukła) na pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu $x_0$.

Jeżeli funkcja $f$ ma ciągłą pochodną drugiego rzędu w punkcie $x_0$ oraz $(x_0, f(x_0))$ jest punktem przegięcia tej funkcji, to $f''(x_0)=0$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ oraz dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie $S_{x_0}$ punktu $x_0$. Jeżeli wykres $f$ ma styczną w punkcie $(x_0, f(x_0))$ oraz

$f''(x)>0$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f''(x)$ dla $x\in S^+_{x_0}$

lub

$f''(x)$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f''(x)>0$ dla $x\in S^+_{x_0}$,

to $(x_0, f(x_0))$ jest punktem przegięcia funkcji $f$.

Jeżeli funkcja $f$ ma pochodną trzeciego rzędu w punkcie $x_0$ i spełnia jednocześnie warunki:

1. $f′′(x_0)=0$,
2. $f′′′(x_0)\neq0$,
3. funkcja $f′′′$ jest ciągła w punkcie $x_0$,

to $(x_0,f(x_0))$ jest punktem przegięcia funkcji $f$.