Pochodna funkcji jednej zmiennej

Funkcja $f$ jest określona na zbiorze $(0,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(x^{2}+3\ln x)^{\prime }=(x^{2})^{\prime }+(3\ln x)^{\prime }=2x+\frac{3}{x}$ dla $x\in (0,+\infty)$.

Ponieważ $f^{\prime }(x)>0$ dla $x\in (0,+\infty)$, więc funkcja $f$ jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji $f$ należy rozwiązać nierówność $\frac{x^2-4}{x}>0$. Ponieważ

$\frac{x^2-4}{x}>0 \Leftrightarrow x(x-2)(x+2)>0 \Leftrightarrow x\in (-2,0) \cup (2,+\infty)$,

zatem $D=(-2,0) \cup (2,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f'(x)=\frac{x}{x^2-4} \cdot \frac{2x \cdot x-(x^2-4)\cdot 1}{x^2}=\frac{x^2+4}{x \cdot (x^2-4)}$ dla $x\in D$.

Zauważamy, że pochodna funkcji jest dodatnia w całej dziedzinie. Nie oznacza to jednak, że funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie, gdyż dziedzina nie jest przedziałem a sumą przedziałów. A zatem stwierdzamy, że funkcja $f$ jest rosnąca na przedziale $(-2,0)$ i na przedziale $(2,+\infty)$.

W tym przypadku $D=(-\infty,1) \cup (1,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f'(x)= \left(\frac{x^3}{x-1}\right)^{\prime }=\frac{3x^2 \cdot (x-1)- x^3\cdot 1}{(x-1)^2} =\frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{(x- 1)^2}=\frac{x^2(2x - 3)}{(x- 1)^2}$ dla $x\in D$.

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f$ badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Ponieważ $(x-1)^{2} >0$ dla każdego $x\in D$ oraz

$x^2(2x - 3) >0\; \Leftrightarrow \; x \in (\frac{3}{2},+\infty )$,

$x^2(2x - 3)$,

więc

$f^{\prime }(x)>0\Leftrightarrow \frac{x^2 (2x - 3)}{(x- 1)^2}>0\Leftrightarrow x\in (\frac{3}{2},+\infty )$,

$f^{\prime }(x)0\Leftrightarrow x\in (-\infty ,0)\cup (0,1) \cup (1,\frac{3}{2} )$.

A zatem badana funkcja jest rosnąca na przedziale $(\frac{3}{2},+\infty )$ oraz malejąca na każdym z przedziałów $(-\infty ,0)$, $(0,1)$ i $(1,\frac{3}{2} )$.

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb R$. Obliczamy pochodną funkcji:

$f^{\prime} (x)=\left(x\, e^{4x}\right)^\prime=x^\prime \cdot e^{4x}+x\cdot \left(e^{4x}\right)^\prime=1\cdot e^{4x}+x\cdot e^{4x}\cdot \left(4x\right)^\prime= e^{4x}+4xe^{4x}=e^{4x}\left(1+4x\right)$ dla $x\in \mathbb R$.

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f$ badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Ponieważ $e^{4x}>0$ dla każdego $x\in \mathbb R$ więc

$f^{\prime} (x)>0 \Leftrightarrow e^{4x}\left(1+4x\right)>0 \Leftrightarrow 1+4x >0 \Leftrightarrow x\in \left(-\frac14, +\infty\right)$,

$f^{\prime} (x)$.

Zatem badana funkcja jest rosnąca na przedziale $\left(-\frac14, +\infty\right)$ oraz malejąca na przedziale $\left(-\infty, -\frac14\right)$.

Z uwagi 2 wynika, że funkcja $f$ jest również monotoniczna na przedziałach domkniętych, tzn. rosnąca na przedziale $\left[-\frac14, +\infty\right)$ oraz malejąca na przedziale $\left(-\infty, -\frac14\right]$ – są to maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f$.