Przejdź do głównej zawartości

Drukuj ten rozdział

Drukuj ten rozdział

Pochodna funkcji jednej zmiennej

3. Reguła de l'Hospitala

Zadania

1

Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granice funkcji:

$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac {e^{3x}}{x+3}$ ,
$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2+1}{\ln x}$ ,
$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{e^x-1},$
$\lim\limits_{x\to0}\frac{\mathrm{arctg}x}{\arcsin x}$ ,
$\lim\limits_{x\to4^-}\frac{\mathrm{arctg}(x-4)}{\sqrt x-2}$ ,
$\lim\limits_{x\to1^+}\frac{\ln(2-x)}{(x-1)^2}$ ,
$\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x-\mathrm{tg} x}$ ,
$\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\sin\frac1x}{1-e^{\frac1x}}$ ,
$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{1-\sqrt{\cos x}}.$

Odpowiedź

$+\infty$ ,
$+\infty$ ,
$1$ ,
$1$ ,
$4$ ,
$-\infty$ ,
$-\frac{1}{2}$ ,
$-1$ ,
$4$ .

2

Oblicz granice funkcji:

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-\ln x\right)$ ,
$\lim\limits_{x\to0^+}\left(\frac1x-\frac{1}{\mathrm{tg} x}\right)$ ,
$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x^2+1\right)\cdot e^x$ ,
$\lim\limits_{x\to0^+}\frac1{x\ln x}$ ,
$\lim\limits_{x\to0^+}\left(1-e^x\right)\cdot\mathrm{ctg} x$ ,
$\lim\limits_{x\to0^-}x\cdot e^{-\frac1x}$ ,
$\lim\limits_{x\to0^+}\left(\sin x\right)^x$ ,
$\lim\limits_{x\to0^+}x^{\sin x}$ .

Wskazówka

$\left(e^x-\ln x\right)= e^x\cdot \left(1-\frac{\ln x}{e^ x}\right)$ ,
$\left(\frac1x-\frac{1}{\mathrm{tg} x}\right)=\frac{\mathrm{tg} x-x}{x\mathrm{tg} x}$ ,
$\left(x^2+1\right)\cdot e^x= \frac{x^2-1}{e^{-x}}$ ,
$x\cdot\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}x}$ ,
$\left(1-e^x\right)\cdot\mathrm{ctg} x=\frac{1-e^x}{\mathrm{tg} x}$ ,
$x\cdot e^{-\frac1x}=\frac{e^{-\frac1x}}{\frac1{x}}$ ,
$\left(\sin x\right)^x=e^{x\ln (\sin x)},\; x\cdot\ln (\sin x)=\frac{\ln (\sin x)}{\frac{1}x}$ ,
$x^{\sin x}=e^{\sin x\cdot\ln x},\; \sin x\cdot\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}}$ .

Odpowiedź

$+\infty$ ,
$+\infty$ ,
$1$ ,
$1$ ,
$4$ ,
$-\infty$ ,
$-\frac{1}{2}$ ,
$-1$ ,
$4$ .