Pochodna funkcji jednej zmiennej - 20.03

1. Jeżeli $f^\prime(x)=0$ dla każdego $x\in(a,b)$, to funkcja $f$ jest stała na przedziale $(a,b)$.
2. Jeżeli $f^\prime(x)>0$ dla każdego $x\in(a,b)$, to funkcja $f$ jest rosnąca na przedziale $(a,b)$.
3. Jeżeli $f^\prime(x)$ dla każdego $x\in(a,b)$, to funkcja $f$ jest malejąca na przedziale $(a,b)$.
4. Jeżeli $f^\prime(x)\geq0$ dla każdego $x\in(a,b)$, to funkcja $f$ jest niemalejąca na przedziale $(a,b)$.
5. Jeżeli $f^\prime(x)\leq 0$ dla każdego $x\in(a,b)$, to funkcja $f$ jest nierosnąca na przedziale $(a,b)$.

Twierdzenie o związku znaku pochodnej funkcji z monotonicznością funkcji jest prawdziwe, gdy stosujemy je na przedziale. Natomiast w zbiorze będącym sumą rozłącznych przedziałów, to twierdzenie już nie zawsze jest prawdziwe.

Rozważmy np. funkcję $f(x)=\frac1x$, $x\in \mathbb R\setminus \{0\}$. Pochodna tej funkcji jest równa $f^\prime(x)=-\frac1{x^2}$ dla $x\in \mathbb R\setminus \{0\}$. Zatem $f^\prime(x)$ dla każdego $x\in (-\infty,0)\cup(0,+\infty)$. Funkcja jest więc malejąca na przedziale $(-\infty,0)$ i funkcja jest malejąca na przedziale $(0,+\infty)$. Natomiast nie jest prawdą, że funkcja $f(x)=\frac1x$ jest malejąca na zbiorze $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.

Jeśli funkcja$f$ jest ciągła na przedziale $[a,b]$ i rosnąca (malejąca) na przedziale $(a,b)$, to $f$ jest rosnąca (malejąca) na przedziale $[a,b]$.

Jeśli funkcja$f$ jest ciągła na przedziale $(a,c)$ i rosnąca (malejąca) na przedziałach $(a,b)$ oraz $(b,c)$, gdzie $b\in (a,c)$, to $f$ jest rosnąca (malejąca) na przedziale $(a,c)$.