Print this chapterPrint this chapter

Pochodna funkcji jednej zmiennej - 20.03

1

Korzystając z definicji pochodnej wyznacz pochodną funkcji f we wskazanym punkcie:

  1. f(x)=3x-4 w punkcie x_{0}=2,
  2. f(x)=2-x^{3} w punkcie x_{0}=1,
  3. f(x)=\frac{1}{x} w punkcie x_{0}=2,
  4. f(x)=\sin x w punkcie x_{0}=\frac{\pi }{2}.
  1. f^{^{\prime }}(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2) }{x-2}, gdzie f(2)=3\cdot 2-4,
  2. f^{^{\prime }}(1)=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1) }{x-1}, gdzie f(1)=2-(1)^{3},
  3. f^{^{\prime }}(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}, gdzie f(2)=\frac{1}{2},
  4. f^{^{\prime }}(\frac{\pi }{2})=\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{f(x)-f(\frac{\pi }{2})}{x-\frac{\pi }{2}}, gdzie f(\frac{\pi }{2})=\sin (\frac{\pi }{2}). Wykorzystać wzory \sin (\alpha )-\sin (\beta )=2\cdot \sin (\frac{\alpha -\beta }{2})\cdot \cos (\frac{\alpha +\beta }{2}) i \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}=1.
  1. f^{^{\prime }}(2)=3,
  2. f^{^{\prime }}(1)=-3,
  3. f^{^{\prime }}(2)=-\frac{1}{4},
  4. f^{^{\prime }}(\frac{\pi }{2})=0.
2

Korzystając z definicji pochodnej wyznacz pochodną funkcji f we wskazanym punkcie:

  1. f(x)=\sqrt{3x+3} w punkcie x_{0}=2,
  2. f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x+3 & \text{dla} & x\leq -3 \\ x^{2}-9 & \text{dla} & x>-3 \end{array} \right. w punkcie x_{0}=-3,
  3. f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{1}{x} & \text{dla} & x0 \end{array} \right. w punkcie x_{0}=0.
  1. f^{^{\prime }}(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2) }{x-2}, gdzie f(2)=\sqrt{3\cdot 2+3}.
  2. Obliczyć pochodne jednostronne funkcji w punkcie x_0=-3. Wartość funkcji f w punkcie x_{0}=-3 jest równa f(-3)=-3+3=0.
  3. Obliczyć pochodne jednostronne funkcji f_{+}^{^{\prime }}(0) i f_{-}^{^{\prime }}(0). Wartość funkcji f w punkcie x_{0}=0 jest równa f(0)=1.
  1. f'(2)=\frac{1}{2},
  2. f^{^{\prime }}(-3) nie istnieje,
  3. f^{^{\prime }}(0)=+\infty.
3

Korzystając z definicji pochodnej wyznacz pochodną funkcji f w dowolnym punkcie x_{0} dziedziny:

  1. f(x)=\cos x,
  2. f(x)=x^{4},
  3. f(x)=\frac{1}{x}.
  1. f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{ f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}. Skorzystać ze wzoru na różnicę cosinusów: \cos (\alpha )-\cos (\beta )=-2\cdot \sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{ \alpha-\beta}{2}\right).
  2. f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}. Skorzystać dwa razy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów x^{2}-x_{0}^{2}=(x-x_{0})(x+x_{0}).
  3. f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.
  1. f^{^{\prime }}(x_{0})=-\sin x_{0}, x_0\in \mathbb R,
  2. f^{^{\prime }}(x_{0})=4x_{0}^{3}, x_0\in \mathbb R,
  3. f^{^{\prime }}(x_{0})=-\frac{1}{x_{0}^{2}}, x_0\in \mathbb R\setminus \{0\}.
4

Korzystając ze wzorów bezpośrednich i praw działań na pochodnych oblicz pochodną funkcji:

  1. f(x)=2x^5+4e\sqrt[3]x+\frac1{x^6}-7,
  2. f(x)=x^2\cdot\cos x,
  3. f(x)=\frac{\ln x}{x^4-5}.
  1. f^\prime(x)=10x^4+\frac43ex^{-\frac23}-\frac6{x^7},
  2. f^\prime(x)=2x\cdot\cos x-x^2\cdot\sin x,
  3. f^\prime(x)=\frac{\frac1x\cdot (x^4-5)-4x^3\cdot \ln x}{(x^4-5)^2}.
5

Korzystając ze wzorów bezpośrednich i praw działań na pochodnych oraz twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej oblicz pochodną funkcji:

  1. f(x)=e^{4x}-\sin(x^3-2)+\mathrm{arctg}(x^6)-\ln^5 x,
  2. f(x)=\sqrt{x^6+\mathrm{tg}x-e^x+1},
  3. f(x)=\sqrt x\cdot \mathrm{arcsin}3x,
  4. (x)=e^{-x}\cdot \sin 2x,
  5. f(x)=\frac{\cos4x}{x^2+4},
  6. f(x)=\frac{\mathrm{tg} 2x+1}{7x-e^{2x}}.
  1. f^\prime(x)=4e^{4x}-3x^2\cdot\cos(x^3-2)+\frac{6x^5}{1+x^{12}}-\frac{5\ln^4x}x,
  2. f^\prime(x)=\frac{6x^5+\frac1{\cos^2x}-e^x}{2\sqrt{x^6+\mathrm{tg}x-e^x+1}},
  3. f^\prime(x)=\frac1{2\sqrt x}\cdot \mathrm{arcsin}3x+\frac{3\sqrt x}{\sqrt{1-9x^2}},
  4. f^\prime(x)=-e^{-x}\cdot \sin2x+2e^{-x}\cos 2x,
  5. f^\prime(x)=\frac{-4\left(x^2+4\right)\cdot\sin4x-2x\cdot\cos4x}{\left(x^2+4\right)^2},
  6. f^\prime(x)=\frac{\frac2{\cos^22x}\cdot\left(7x-e^{2x}\right)-\left(7-2e^{2x}\right)\cdot\left(\mathrm{tg} 2x+1\right)}{\left(7x-e^{2x}\right)^2}.
6

Korzystając ze wzorów bezpośrednich i praw działań na pochodnych oraz twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej oblicz pochodną funkcji:

  1. f(x)=\frac{\ln^3 x}{2^x\cdot \sin 3x},
  2. f(x)=x^7\cdot\log_3 (x^2+5)\cdot \sqrt{\mathrm{arcctg}x},
  3. f(x)=\sin\left(\cos\left(x^5\right)\right),
  4. f(x)=\sin^5\left(\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg} x}\right),
  5. f(x)=\left(\mathrm{arctg}x\right)^{\sin x}.
  1. f(x)=\big(x^7\cdot\log_3 (x^2+5)\big)\cdot \sqrt{\mathrm{arcctg}x},
  2. f(x)=e^{\sin x\cdot \ln\left(\mathrm{arctg}x\right)}.
  1. f^\prime(x)=\frac{\frac{3\ln^2x}{x}\cdot2^x\cdot \sin 3x-\ln^3x\cdot\left( 2^x\cdot\ln2\cdot\sin3x+2^x\cdot3\cos3x\right)}{2^{2x}\cdot\sin^23x},
  2. f^\prime(x)=\left(7x^6\cdot\log_3 (x^2+5)+x^7\cdot \frac{2x}{\left(x^2+5\right)\cdot\ln3}\right)\cdot \sqrt{\mathrm{arcctg}x}- \frac{x^7\cdot\log_3 (x^2+5)}{2\left(x^2+1\right)\cdot\sqrt{\mathrm{arcctg}x}},
  3. f^\prime(x)=-5x^4\cos\left(\cos\left(x^5\right)\right)\cdot\sin \left(x^5\right),
  4. f^\prime(x)=5\sin^4\left(\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg}x}\right)\cdot\cos\left(\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg}x}\right)\cdot \frac1{2\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg} x}}\cdot\left(5\mathrm{ctg}x -\frac{5x}{\sin^2x}\right),
  5. f^\prime(x)=e^{\sin x\cdot \ln\left(\mathrm{arctg}x\right)}\cdot\left(\cos x\cdot \ln\mathrm{arctg}x+\frac{\sin x}{\left(1+x^2\right)\cdot \mathrm{arctg}x}\right).
7

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji:

  1. f(x)=\frac{x+2}{x^{3}+2x+1} w punkcie x_0=1,
  2. f(x)=x^{3}-4x w punkcie x_{0}=3,
  3. f(x)=1-2^{x} w punkcie x_{0}=3.
  1. Obliczyć f(1), f^{^{\prime }}(x), f^{^{\prime }}(1). Wartości f(1) i f^{^{\prime }}(1) podstawić do wzoru y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).
  2. Obliczyć f(3), f^{^{\prime }}(x), f^{^{\prime }}(3). Wartości f(3) i f^{^{\prime }}(3) podstawić do wzoru y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).
  3. Obliczyć f(3), f^{^{\prime }}(x), f^{^{\prime }}(3). Wartości f(3) i f^{^{\prime }}(3) podstawić do wzoru y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).
  1. y=-\frac{11}{16}x+\frac{23}{16},
  2. y=23x-54 ,
  3. y=-8x\ln 2+24\ln 2-7.
8

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji:

  1. f(x)=\ln x+1 w punkcie x_0=e,
  2. f(x)=2+xe^{2x} w punkcie x_{0}=0,
  3. f(x)=\mathrm{arctg}^{2}x w punkcie x_{0}=\sqrt{3}.
  1. Obliczyć f(e), f^{^{\prime }}(x), f^{^{\prime }}(e) i otrzymane wartości f(e) i f^{^{\prime }}(e) podstawić do wzoru y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).
  2. Obliczyć f(0), f^{^{\prime }}(x), f^{^{\prime }}(0) i otrzymane wartości f(0) i f^{^{\prime }}(0) podstawić do wzoru y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).
  3. Obliczyć f(\sqrt{3}), f^{^{\prime }}(x), f^{^{\prime }}(\sqrt{3}) i otrzymane wartości f(\sqrt{3}) i f^{^{\prime }}(\sqrt{ 3}) podstawić do wzoru y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).
  1. y=\frac{x}{e}+1,
  2. y=x+2,
  3. y=\frac{\pi }{6}x-\frac{3\sqrt{3}\pi -2\pi ^{2}}{18}.

------------------------------

Zadanie 1

Korzystając z definicji pochodnej wyznacz pochodną funkcji f we wskazanym punkcie:

a)  f(x)=3x-4 w punkcie x_{0}=2,  

Odpowiedź f^{^{\prime }}(2)=3.

Wskazówka  f^{^{\prime }}(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2) }{x-2}, gdzie f(2)=3\cdot 2-4.

b) f(x)=2-x^{3} w punkcie x_{0}=1,

Odpowiedź  f^{^{\prime }}(1)=-3.

Wskazówka f^{^{\prime }}(1)=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1) }{x-1}, gdzie f(1)=2-(1)^{3}.

c) f(x)=\frac{1}{x} w punkcie x_{0}=2,

Odpowiedź f^{^{\prime }}(2)=-\frac{1}{4}.

Wskazówka  f^{^{\prime }}(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}, gdzie f(2)=\frac{1}{2}.

d) f(x)=\sin x w punkcie x_{0}=\frac{\pi }{2},

Odpowiedź f^{^{\prime }}(\frac{\pi }{2})=0.

Wskazówka  f^{^{\prime }}(\frac{\pi }{2})=\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{f(x)-f(\frac{\pi }{2})}{x-\frac{\pi }{2}}, gdzie f(\frac{\pi }{2})=\sin (\frac{\pi }{2}).

Wykorzystać wzory \sin (\alpha )-\sin (\beta )=2\cdot \sin (\frac{\alpha -\beta }{2})\cdot \cos (\frac{\alpha +\beta }{2}) i \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}=1.

Zadanie 2

a) f(x)=\sqrt{3x+3} w punkcie x_{0}=2,

Odpowiedź f'(2)=\frac{1}{2}.

Wskazówka  f^{^{\prime }}(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2) }{x-2}, gdzie f(2)=\sqrt{3\cdot 2+3}.

b) f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x+3 & \text{dla} & x\leq -3 \\ x^{2}-9 & \text{dla} & x>-3 \end{array} \right. w punkcie x_{0}=-3,

Odpowiedź f^{^{\prime }}(-3) nie istnieje.

Wskazówka  Obliczyć pochodne jednostronne funkcji w punkcie x_0=-3.  Wartość funkcji f w punkcie x_{0}=-3 jest równa f(-3)=-3+3=0.

c) f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{1}{x} & \text{dla} & x0 \end{array} \right. w punkcie x_{0}=0.

Odpowiedź f^{^{\prime }}(0)=+\infty.

Wskazówka  Obliczyć pochodne jednostronne funkcji f_{+}^{^{\prime }}(0) i f_{-}^{^{\prime }}(0). Wartość funkcji f w punkcie x_{0}=0 jest równa f(0)=1.

Zadanie 3

Korzystając z definicji pochodnej wyznacz pochodną funkcji f w dowolnym punkcie x_{0} dziedziny:

a) f(x)=\cos x,

Odpowiedź f^{^{\prime }}(x_{0})=-\sin x_{0},  x_0\in \mathbb R.

Wskazówka  f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{ f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}. Skorzystać ze wzoru na różnicę cosinusów: \cos (\alpha )-\cos (\beta )=-2\cdot \sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{ \alpha-\beta}{2}\right).

b) f(x)=x^{4},

Odpowiedź f^{^{\prime }}(x_{0})=4x_{0}^{3},  x_0\in \mathbb R.

Wskazówka  f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}. Skorzystać dwa razy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów x^{2}-x_{0}^{2}=(x-x_{0})(x+x_{0}).

c) f(x)=\frac{1}{x}.

Odpowiedź f^{^{\prime }}(x_{0})=-\frac{1}{x_{0}^{2}},  x_0\in \mathbb R\setminus \{0\}. Wskazówka  f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.

 

Zadanie 4

Korzystając ze wzorów bezpośrednich i praw działań na pochodnych oblicz pochodną funkcji:

a) f(x)=2x^5+4e\sqrt[3]x+\frac1{x^6}-7,

Odpowiedź  f^\prime(x)=10x^4+\frac43ex^{-\frac23}-\frac6{x^7},

b) f(x)=x^2\cdot\cos x,

Odpowiedź  f^\prime(x)=2x\cdot\cos x-x^2\cdot\sin x,

c) f(x)=\frac{\ln x}{x^4-5}.

Odpowiedź f^\prime(x)=\frac{\frac1x\cdot (x^4-5)-4x^3\cdot \ln x}{(x^4-5)^2}.

Zadanie 5

Korzystając ze wzorów bezpośrednich i praw działań na pochodnych oraz twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej oblicz pochodną funkcji:

a) f(x)=e^{4x}-\sin(x^3-2)+\mathrm{arctg}(x^6)-\ln^5 x,

Odpowiedź  f^\prime(x)=4e^{4x}-3x^2\cdot\cos(x^3-2)+\frac{6x^5}{1+x^{12}}-\frac{5\ln^4x}x.

b) f(x)=\sqrt{x^6+\mathrm{tg}x-e^x+1},

Odpowiedź f^\prime(x)=\frac{6x^5+\frac1{\cos^2x}-e^x}{2\sqrt{x^6+\mathrm{tg}x-e^x+1}},

c) f(x)=\sqrt x\cdot \mathrm{arcsin}3x, 

Odpowiedź f^\prime(x)=\frac1{2\sqrt x}\cdot \mathrm{arcsin}3x+\frac{3\sqrt x}{\sqrt{1-9x^2}},

d) (x)=e^{-x}\cdot \sin 2x,

Odpowiedź f^\prime(x)=-e^{-x}\cdot \sin2x+2e^{-x}\cos 2x,

e) f(x)=\frac{\cos4x}{x^2+4}, 

Odpowiedź  f^\prime(x)=\frac{-4\left(x^2+4\right)\cdot\sin4x-2x\cdot\cos4x}{\left(x^2+4\right)^2},

f) f(x)=\frac{\mathrm{tg} 2x+1}{7x-e^{2x}}.

Odpowiedź  f^\prime(x)=\frac{\frac2{\cos^22x}\cdot\left(7x-e^{2x}\right)-\left(7-2e^{2x}\right)\cdot\left(\mathrm{tg} 2x+1\right)}{\left(7x-e^{2x}\right)^2}.

Zadanie 6

Oblicz pochodną funkcji:

a) f(x)=\frac{\ln^3 x}{2^x\cdot \sin 3x}, 

Odpowiedź  f^\prime(x)=\frac{\frac{3\ln^2x}{x}\cdot2^x\cdot \sin 3x-\ln^3x\cdot\left( 2^x\cdot\ln2\cdot\sin3x+2^x\cdot3\cos3x\right)}{2^{2x}\cdot\sin^23x},

b) f(x)=x^7\cdot\log_3 (x^2+5)\cdot \sqrt{\mathrm{arcctg}x}, 

Wskazówka f(x)=\big(x^7\cdot\log_3 (x^2+5)\big)\cdot \sqrt{\mathrm{arcctg}x},

Odpowiedź  f^\prime(x)=\left(7x^6\cdot\log_3 (x^2+5)+x^7\cdot \frac{2x}{\left(x^2+5\right)\cdot\ln3}\right)\cdot \sqrt{\mathrm{arcctg}x}-\frac{x^7\cdot\log_3 (x^2+5)}{2\left(x^2+1\right)\cdot\sqrt{\mathrm{arcctg}x}},

c) f(x)=\sin\left(\cos\left(x^5\right)\right),

Odpowiedź f^\prime(x)=-5x^4\cos\left(\cos\left(x^5\right)\right)\cdot\sin \left(x^5\right),

d) f(x)=\sin^5\left(\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg} x}\right),

Odpowiedź  f^\prime(x)=5\sin^4\left(\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg}x}\right)\cdot\cos\left(\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg}x}\right)\cdot \frac1{2\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg} x}}\cdot\left(5\mathrm{ctg}x -\frac{5x}{\sin^2x}\right),

e) f(x)=\left(\mathrm{arctg}x\right)^{\sin x}.

Wskazówka f(x)=e^{\sin x\cdot \ln\left(\mathrm{arctg}x\right)}.

Odpowiedź  f^\prime(x)=e^{\sin x\cdot \ln\left(\mathrm{arctg}x\right)}\cdot\left(\cos x\cdot \ln\mathrm{arctg}x+\frac{\sin x}{\left(1+x^2\right)\cdot \mathrm{arctg}x}\right).

 

Zadanie 7

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji:

a) f(x)=\frac{x+2}{x^{3}+2x+1} w punkcie x_0=1,

Odpowiedź y=-\frac{11}{16}x+\frac{23}{16}.

Wskazówka  Obliczyć f(1), f^{^{\prime }}(x), f^{^{\prime }}(1). Wartości f(1) i f^{^{\prime }}(1) podstawić do wzoru y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).

b) f(x)=x^{3}-4x w punkcie x_{0}=3,

Odpowiedź  y=23x-54.

Wskazówka  Obliczyć f(3), f^{^{\prime }}(x), f^{^{\prime }}(3). Wartości f(3) i f^{^{\prime }}(3) podstawić do wzoru y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).

c) f(x)=1-2^{x} w punkcie x_{0}=3.

Odpowiedź  y=-8x\ln 2+24\ln 2-7.

Wskazówka  Obliczyć f(3), f^{^{\prime }}(x), f^{^{\prime }}(3). Wartości f(3) i f^{^{\prime }}(3) podstawić do wzoru y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).

Zadanie 8

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji:

a) f(x)=\ln x+1 w punkcie x_0=e,

Odpowiedź  y=\frac{x}{e}+1.

Wskazówka  Obliczyć f(e), f^{^{\prime }}(x), f^{^{\prime }}(e) i otrzymane wartości f(e) i f^{^{\prime }}(e) podstawić do wzoru y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).

b) f(x)=2+xe^{2x} w punkcie x_{0}=0,

Odpowiedź  y=x+2.

Wskazówka  Obliczyć f(0), f^{^{\prime }}(x), f^{^{\prime }}(0) i otrzymane wartości f(0) i f^{^{\prime }}(0) podstawić do wzoru y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).

c) f(x)=\mathrm{arctg}^{2}x w punkcie x_{0}=\sqrt{3}.

Odpowiedź  y=\frac{\pi }{6}x-\frac{3\sqrt{3}\pi -2\pi ^{2}}{18}.

Wskazówka  Obliczyć f(\sqrt{3}), f^{^{\prime }}(x), f^{^{\prime }}(\sqrt{3}) i otrzymane wartości f(\sqrt{3}) i f^{^{\prime }}(\sqrt{ 3}) podstawić do wzoru y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}).