Pochodna funkcji jednej zmiennej
2.2 Twierdzenie Taylora
Teoria
Taylora
Powyższy wzór nazywany jest wzorem Taylora, zaś wyrażenie resztą Taylora w postaci Lagrange'a. Wielomian postaci
nazywamy wielomianem Taylora stopnia w punkcie
.
Jeżeli , to wzór Taylora ma postać
i nazywany jest wzorem Maclaurina (punkt leży pomiędzy
i
). Pomijając w powyższym wzorze resztę Taylora
, otrzymujemy przybliżenie (aproksymację) funkcji
za pomocą wielomianu Maclaurina:
przy czym błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi . Jeżeli wszystkie pochodne funkcji
są wspólnie ograniczone, to
. Wówczas możemy obliczyć wartość funkcji
z dowolną dokładnością.
Przybliżenie wybranych funkcji za pomocą wzoru Maclaurina: