Pochodna funkcji jednej zmiennej -5sty

Definicja. Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ punktu $x_0$. Mówimy, że $f$ ma w punkcie $x_0$ maksimum  lokalne, jeżeli istnieje otoczenie $U_{x_0}$, punktu $x_0$, takie, że dla wszystkich $x\in U_{x_0}$

$\ \qquad f(x)\leq f(x_0).$ 

Definicja. Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ punktu $x_0$. Mówimy, że $f$ ma w punkcie $x_0$ minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie $U_{x_0}$, punktu $x_0$, takie, że dla wszystkich $x\in U_{x_0}$

$\ \qquad f(x)\geq f(x_0).$

Uwaga. Jeżeli dla każdego $x\in U_{x_0}\setminus \{ x_0 \}$ zachodzi nierówność $f(x)< f(x_0)$  $(f(x)> f(x_0))$, to mówimy o maksimum (minimum) lokalnym właściwym.

Twierdzenie - warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji różniczkowalnej.  Jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0$ i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to $f'(x_0)=0.$

Uwaga. Jeżeli $f'(x_0)\neq 0$, to funkcja $f$ nie ma ekstremum w punkcie $x_0$. 

Uwaga. Funkcja może mieć ekstremum lokalne jedynie w punkcie $x_0$, takim że $f'(x_0)=0$ (gdy jest różniczkowalna w $x_0$) lub w punkcie $x_0$, w którym funkcja $f$ nie ma pochodnej.

Definicja. Punkty, w których pochodna funkcji się zeruje nazywamy punktami stacjonarnymi tej funkcji.

Twierdzenie - warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego. Jeżeli funkcja $f$ jest ciągła na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ i różniczkowalna na sąsiedztwie $S_{x_0}$ punktu $x_0$ oraz

1. $f'(x)>0$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f'(x)$ dla $x\in S^+_{x_0}$

lub

2. $f'(x)$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f'(x)>0$ dla $x\in S^+_{x_0}$,

to funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ ekstremum lokalne właściwe. Jest to maksimum lokalne w przypadku (1), minimum lokalne gdy zachodzi warunek (2).

Twierdzenie - drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego. Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu $x_0$ oraz

1. $f'(x_0)=0$,
2. $f''(x_0)\neq 0$,

to funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to maksimum lokalne,

jeżeli $f''(x_0)$, minimum lokalne, gdy $f''(x_0)>0$.