Pochodna funkcji jednej zmiennej

Niech $f:D \to \mathbb{R}$, gdzie $D \subset \mathbb{R}$.

Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ maksimum globalne (absolutne), jeżeli dla wszystkich $x\in D$

$\ \qquad f(x)\leq f(x_0).$

Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ minimum globalne (absolutne), jeżeli dla wszystkich $x\in D$

$\ \qquad f(x)\geq f(x_0).$

Jeżeli dla każdego $x\in D\setminus\{x_0\}$ zachodzi nierówność $f(x)< f(x_0)$ $(f(x)> f(x_0))$, to mówimy o maksimum (minimum) globalnym właściwym.

Z twierdzenia Weierstrassa wynika, iż każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym posiada w tym przedziale ekstrema globalne. Ekstremum globalne może być osiągnięte wewnątrz tego przedziału (jest to wtedy jednocześnie ekstremum lokalne) lub w punkcie brzegowym przedziału. Stąd wynika

Metoda wyznaczania ekstremów globalnych funkcji ciągłej $f$ na przedziale domkniętym $[a,b]$:

1. w przedziale $(a,b)$ znajdujemy punkty $x_1$, $\ldots$, $x_n$, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne, czyli punkty będące rozwiązaniami równania $f^\prime(x)=0$ lub punkty, w których pochodna nie istnieje,
2. obliczamy wartości funkcji w punktach: $a$, $x_1$, $\ldots$, $x_n$, $b$, czyli

   $f(a)$, $f(x_1)$, $\ldots$, $f(x_n)$, $f(b)$,

3. największa z liczb $f(a)$, $f(x_1)$, $\ldots$, $f(x_n)$, $f(b)$ jest maksimum globalnym, a najmniejsza ‒ minimum globalnym funkcji $f$ na przedziale domkniętym $[a,b]$.