Pochodna funkcji jednej zmiennej

1.3 Interpretacja geometryczna pochodnej w punkcie

Teoria

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym otoczeniu punktu $x_{0}$ . Styczną do wykresu funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ (w punkcie wykresu $(x_{0}$ , $f(x_{0}))$ ) nazywamy prostą będącą granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji $f$ przechodzących przez punkty $(x_{0},f(x_{0}))$ i $(x, f(x))$ , gdy $x\rightarrow x_{0}$ .

Styczna

Iloraz różnicowy $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ równy jest tangensowi kąta $\alpha _{s}$ nachylenia prostej (siecznej) przechodzącej przez punkty $A=(x_{0},f(x_{0}))$ i $B=(x_{0}+\Delta x,f(x_{0}+\Delta x))$ :

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\text{tg}\alpha _{s}.$

Jeżeli granica $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{ \Delta x}$ istnieje i jest skończona, to jej wartość równa jest tangensowi kąta $\alpha$ nachylenia stycznej do wykresu funkcji $f$ poprowadzonej w punkcie $A$ , zatem

$f^{\prime }(x_{0})=\text{tg}\alpha$ .

tangens

Pochodna $f^{\prime }(x_{0})$ jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji $f$ poprowadzonej w punkcie $(x_{0},f(x_{0}))$ .

‒ o równaniu stycznej do wykresu funkcji

Niech funkcja $f$ będzie określona w otoczeniu punktu $x_{0}$ i posiada pochodną (właściwą) w punkcie $x_{0}$ . Równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ ma postać

$y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$ .